ПредысторияВ 17-18 веках известные математики, работая, казалось бы на первый взгляд с простыми вещами, задали такие загадки, что их решение, лучшими умами человечества, затянулось на века. Чего стоит, например знаменитое утверждение Ферма, оставленное на полях книги трудов Диофанта, которое в последствии получило название Великая Теорема Ферма. Он написал в таком духе: "Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат - на два биквадрата, и вообще любую степень, больше двух, в сумму таких же степеней. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но эти поля слишком узки, чтобы его вместить." То есть не разрешимо уравнение, при любом целом x,y,z и n>2 Сказал так Ферма и поставил весь мир на протяжении веков в тяжелейший ступор. Пока наконец в 1995 была не поставлена точка в этом вопросе. Утверждение Ферма оказалось верным и теорема была окончательно доказана, но это потребовало открыть новый раздел в математике. В 1772 году Эйлер рассматривая Теорему Ферма в частных случаях пришел к заключению, что и более расширенный случай уравнения для 4-й степени не имеет решения: Ни доказать это, ни опровергнуть это никто не мог на протяжении многих веков. Первым кто предпринял серьезную вычислительную атаку был Морган Уорд (Morgan Ward), он придумал как это можно делать весьма быстро и кажется ручным способом проверил A<10000, не обнаружив никаких решений
Но мир не стоит на месте, в 1986 году Ноам Элкие (Noam Elkies), доказал, что таких решений существует бесконечное множество!!! Вот так дела, то ни одного, то сразу бесконечное множество, но ни одно решение не известно людям. В 1988 году Роджер Фрей (Roger Frye) используя суперкомпьютеры SUN в течении 110 часов проверив все числа до 1 000 000 нашел одно решение. Это вызвало сенсацию в мировой математике. Об этом много написано в соответствующих публикациях и литературе. Но кроме мощности компьютеров в этом вопросе росли так же и методы поиска в решении подобных задач. Чтобы оценить количество работы, давайте посмотрим пример. Простой перебор по трем значениям будет очень долгим. Например если мы хотим проверить все числа до 1000000, то нам потребуется 1018 проверок. Даже если делать 109 проверок за секунду, то это приблизительно 30 лет работы. С помощью сложных эллиптических кривых были обнаружены другие решения, но эти числа имели очень большие значения. Но метод эллиптических кривых носит вероятностный характер, т.е. он не дает гарантии обнаружения всех значений из заданного диапазона. Другой шаг был сделан в методе перебора, доктором математики Д.Бернштейном (D.J. Bernstein), с помощью своего метода и программы которая работала в сотни раз быстрее предыдущих методов, он проверил числа до 20 000 000 и нашел ряд новых выражений. Дальнейший шаг недавно был сделан венгерским математиком Робертом Гербицом (Robert Gerbicz), который смог улучшить способ еще как минимум в 100 раз и проверить диапазон дальше на собственном компьютере до 100 000 000 найдя при этом 3 новых выражения. |
Современый поискНа момент начала открытия проекта (24 октября 2007г), самая быстрейшая программа из всех созданных для поиска чисел опровергающих гипотезу Эйлера, методом тотального поиска, является программа Euler413.exe Роберта Гербица (Венгрия).
Сегодня, для одного процессора типа Core 2 (2ГГц) требуется приблизительно 350 дней непрерывной работы, но используя множество компьютеров мы хотим завершить этот диапазон за меньшее количество времени. Загрузить свежую версию программы здесь: http://robert.gerbicz.googlepages.com/euler413.exe Исходники лежат здесь: http://robert.gerbicz.googlepages.com/euler413.c Значение 413 в названии это не номер версии, это так коротко записывают математики данную проблему (4,1,3). Т.е. ищем выражение четвертой степени, слева от знака равно 1 выражение, справа, 3 суммы. Установки в программе:
Статус вычисленийЗавершено a0 = 15500; 94% Обнаружено неизвестных решений - 4
Legends of range:
LD - Leonid Durman
| A4 = B4 + C4 + D4
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| N | A | B | C | D | Autor | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 422481 | 414560 | 217519 | 95800 | (Roger Frye, 1988) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 2813001 | 2767624 | 1390400 | 673865 | (Allan MacLeod 1997) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 8707481 | 8332208 | 5507880 | 1705575 | (D.J. Bernstein, 2001) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | 12197457 | 11289040 | 8282543 | 5870000 | (D.J. Bernstein, 2001) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 16003017 | 14173720 | 12552200 | 4479031 | (D.J. Bernstein, 2001) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 16430513 | 16281009 | 7028600 | 3642840 | (D.J. Bernstein, 2001) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 20615673 | 18796760 | 15365639 | 2682440 | (Noam Elkies, 1986) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8 | 44310257 | 41084175 | 31669120 | 2164632 | (Robert Gerbicz, 11/08/2006) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 68711097 | 65932985 | 42878560 | 10409096 | (Robert Gerbicz, 11/08/2006) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10 | 117112081 | 106161120 | 87865617 | 34918520 | (Robert Gerbicz, 11/02/2006) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 11 | 145087793 | 122055375 | 121952168 | 1841160 | (Juergen Rathmann, 5/31/2007) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12 | 156646737 | 146627384 | 108644015 | 27450160 | (Juergen Rathmann, 6/1/2007) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 13 | 589845921 | 582665296 | 260052385 | 186668000 | (Seiji Tomita, 03/13/2006) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 14 | 638523249 | 630662624 | 275156240 | 219076465 | (Allan MacLeod,1998) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 15 | 873822121 | 769321280 | 606710871 | 558424440 | (Robert Gerbicz, Leonid Durman, Yuri Radaev, Alexey Zubkov 11/2/2007) 16 | 1259768473 | 1166705840 | 859396455 | 588903336 | (Robert Gerbicz, Leonid Durman, | Yuri Radaev, Alexey Zubkov 01/25/2008) 17 | 1679142729 | 1670617271 | 632671960 | 50237800 | (Seiji Tomita, 03/13/2006)
| 18 | 1787882337 | 1662997663 | 1237796960 | 686398000 | (Robert Gerbicz, Leonid Durman, | Yuri Radaev, Alexey Zubkov 11/2/2007) 19 | 1871713857 | 1593513080 | 1553556440 | 92622401 | (Robert Gerbicz, Leonid Durman, | Yuri Radaev, Alexey Zubkov 10/31/2007) 20 | 3393603777 | 3134081336 | 2448718655 | 664793200 | (Seiji Tomita, 01/28/2007)
| 21 | 15434547801 | 15355831360 | 5821981400 | 140976551 | (Seiji Tomita, 10/24/2007)
| 22 | 5062297699257 | 4987588419655 | 2480452675600 | 502038853976 | (Seiji Tomita, 05/15/2008)
| 23 | 29999857938609 | 27239791692640 | 22495595284040 | 7592431981391 | (Seiji Tomita, 03/13/2006)
| 24 | 573646321871961 | 514818101299289 | 440804942580160 | 130064300991400 | (Seiji Tomita, 09/15/2008)
| 25 | 20249506709579721 | 18565945114216720 | 14890026433468471 | 3579087147375440 | (Seiji Tomita, 08/13/2008)
| 26 | 62940516903410601 | 56827813308111785 | 47886740272114976 | 8813425670440240 | (Seiji Tomita, 08/13/2008)
| 27 | 1677479490238 | 223823661446513 1507524066882 | 038472584786800 1288056982586 | 427591062203384 1692180213221 | 70204480680305 (Seiji Tomita, 03/13/2006)
| |
Links:
http://euler.free.fr/database.txt
http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/dioph46e.html